|
Vyučující
|
|
|
|
Obsah předmětu
|
1. Výroková logika, formule a sémantika výrokovej logiky, konjunktivní a disjunktivní normální tvar formule. 2. Hilbertovský výrokový kalkul, pojem důkazu, věta o dedukci, věta o úplnosti. 3. Predikátová logika, jazyky, termy a formule, struktury, definice platnosti formule ve struktuře (Tarského definice pravdy). 4. Hilbertův predikátový kalkul, věta o úplnosti, Gödelovy věty o neúplnosti. 5. Vícehodnotová rozšíření klasické logiky. 6. Pojem nekonečna v matematice, paradoxy nekonečna a teorie množin, principy vytváření množin. 7. Reálná a přirozená čísla v teorii množin, relace, zobrazení a jejich vlastnosti. 8. Kardinalita množin, Cantorova-Bernsteinova věta a její důsledky. 9. Konečné, spočetné a nespočetné množiny (různé příklady a základní tvrzení týkající se těchto typů množin). 10. Cantorova věta o mohutnosti potenční množiny. 11. Základní aritmetické operace s mohutnostmi množin.
|
|
Studijní aktivity a metody výuky
|
|
Monologická (výklad, přednáška, instruktáž), Dialogická (diskuze, rozhovor, brainstorming), Aktivizující práce ve skupinách
|
|
Výstupy z učení
|
Cílem předmětu je seznámit studenty se základy matematické logiky a naivní teorie množin. Studenti: - se seznámí se základy výrokové logiky (pravdivostní ohodnocení, logický důsledek, normální formy, Hilbertovský kalkulus, věta o úplnosti) a s vícehodnotovou výrokovou logikou. - se seznámí se základy predikátové logiky (pojem struktury pro daný jazyk, logický důsledek, Hilbertovský kalkulus, věta o úplnosti, Gödelovy věty o neúplnosti), - porozumí paradoxům teorie množin a osvojí si principy vytváření množin (alternativa axiomatiky v naivní teorii množin), - získají schopnost porovnávat mohutnosti množin, - seznámí se se základními větami (Cantorova-Bernsteinova věta, Cantorova věta o potenční množině), - získají základní přehled o spočetných a nespočetných množinách, - seznámí se se základními operacemi kardinální aritmetiky.
Student po absolvování předmětu: Znalosti: - rozumí základním pojmům matematické logiky a naivní teorie množin, - zná sémantickou a syntaktickou část výrokové a predikátové logiky, - rozumí principu porovnávání mohutností množin pomocí bijektivních a injektivních zobrazení. Dovednosti: - dokáže aplikovat větu o úplnosti, např. rozhodnout o bezrozpornosti konečné množiny formulí, - je schopen určit mohutnost různých podmnožin reálných čísel, - dokáže sčítat, násobit, resp. umocňovat některé nekonečné mohutnosti, Kompetence: - dokáže rozpoznat deduktivní metody matematické logiky v rámci běžné matematické praxe, - získá hlubší vhled do využití teorie množin a jejích metod v jiných oblastech matematiky (např. algebra, diskrétní matematika, topologie).
|
|
Předpoklady
|
Předpokládá se znalost základních matematických pojmů a různých metod matematických důkazů.
|
|
Hodnoticí metody a kritéria
|
Ústní zkouška, Písemný test
Pro úspěšné absolvování předmětu musí student: - osvojit si základní pojmy matematické logiky a teorie množin, - porozumět větě o úplnosti a umět ji aplikovat na konkrétní příklady, - být schopen porovnávat mohutnosti množin pomocí zobrazení, - řešit praktické i teoretické úlohy, - splnit průběžné požadavky (zápočtové úkoly/testy), - úspěšně složit závěrečnou zkoušku.
|
|
Doporučená literatura
|
-
Balcar B., Štěpánek P. (2001). Teorie množin. Praha.
-
Bukovský L. (2005). Množiny a všelico okolo nich. UPJŠ v Košiciach.
-
Cunningham D. W. (2016). Set Theory A First Course.
-
Manin Yu. I. (2010). A Course in Mathematical Logic for Mathematicians.
-
Švejdar V. (2002). Logika, neúplnost a složitost. Praha.
-
Vopěnka P. (2015). Úvod do klasické teorie množin. Fragment.
|