|
Vyučující
|
-
Peška Patrik, RNDr. Ph.D.
|
|
Obsah předmětu
|
1. n-dimenzionální diferencovatelné variety. 2. Geometrické objekty na varietách. 3. Zobrazení push-forward a pull-back, Lieova derivace. 3. Kovariantní derivace, variety s afinní konexí 4. Paralelní přenos. Geodetické křivky. 5. Riemannův a Ricciho tenzor. 6. Vlastnosti Riemannova a Ricciho tenzoru. 7. Riemannova metrika, délka křivky. 8. Geodetické křivky na Riemannově varietě. 9. Prostory s konstantní křivostí, Einsteinovy prostory. 10. Izometrická a konformní zobrazení.
|
|
Studijní aktivity a metody výuky
|
|
Monologická (výklad, přednáška, instruktáž), Dialogická (diskuze, rozhovor, brainstorming), Demonstrace, Aktivizující práce ve skupinách
|
|
Výstupy z učení
|
Cílem předmětu je seznámit studenty se základy Riemannovská geometrie a teorií diferencovatelných variet. Důraz je kladen na geometrickou interpretaci tenzorových veličin a na vztah mezi lokální a globální strukturou prostoru. Studenti: - porozumí pojmu diferencovatelné variety a geometrických objektů na ní, - osvojí si práci s tenzory a afinní konexí, - pochopí kovariantní derivaci, paralelní přenos a geodetiky, - seznámí se s křivostními tenzory (Riemannův, Ricciho), - pochopí význam Riemannovy metriky a variačních principů, - porozumí prostorům s konstantní křivostí a Einsteinovým prostorům, - osvojí si základní vlastnosti izometrických a konformních zobrazení.
Student po absolvování předmětu: Znalosti: - rozumí struktuře diferencovatelných variet a geometrických objektů na nich, - zná teorii tenzorů a afinní konexe, - chápe význam Riemannova a Ricciho tenzoru a jejich vlastnosti, - rozumí pojmu křivosti a prostorům s konstantní křivostí. Dovednosti: - umí počítat s tenzory a používat kovariantní derivaci, - dokáže pracovat s geodetikami a paralelním přenosem, - analyzuje křivost prostoru pomocí Riemannova tenzoru, - aplikuje variační principy na geometrické úlohy, - pracuje s izometrickými a konformními zobrazeními.
|
|
Předpoklady
|
Předpokládá se znalost základů Lineární algebra, Matematická analýza (zejména funkcí více proměnných) a Analytická geometrie. Výhodou je základní orientace v teorii tenzorů.
|
|
Hodnoticí metody a kritéria
|
Ústní zkouška, Písemná zkouška, Analýza výkonů studenta
Pro úspěšné absolvování předmětu musí student: - prokázat porozumění základním pojmům Diferenciální geometrie (variety, tenzory, afinní konexe, křivost), - aktivně pracovat s matematickým aparátem (tenzorový počet, kovariantní derivace), - být schopen samostatně řešit výpočtové i teoretické úlohy (např. výpočet Christoffelových symbolů, geodetik, křivostních tenzorů), - aplikovat získané poznatky na konkrétní geometrické situace, - úspěšně složit zápočtový test (pokud je vyžadován), - úspěšně složit závěrečnou zkoušku (písemnou a/nebo ústní).
|
|
Doporučená literatura
|
-
Doupovec, M. (1999). Diferenciální geometrie a tenzorový počet. Brno.
-
Isham C. J. (1989). Modern Differential Geometry for physicists. World Scientific.
-
J. Mikeš, M. Sochor. (2015). Diferenciální geometrie ploch v úlohách. Olomouc.
-
Kulhánek Petr. (2016). Obecná relativita. Praha.
-
Mikeš J. et al. (2019). Differential Geometry of Special Mappings. Olomouc.
-
Podolský J. (2006). Teoretická mechanika v jazyce diferenciální geometrie. Praha.
-
Tahalová, L. (2001). Visual Basic v příkladech. Praha.
-
Tapp Kristopher. (2016). Differential Geometry of curves and surfaces. Switzerland.
|