|
Vyučující
|
-
Peška Patrik, RNDr. Ph.D.
|
|
Obsah předmětu
|
1. n-dimenzionální diferencovatelné variety. 2. Geometrické objekty na varietách. 3. Zobrazení push-forward a pull-back, Lieova derivace. 3. Kovariantní derivace, variety s afinní konexí 4. Paralelní přenos. Geodetické křivky. 5. Riemannův a Ricciho tenzor. 6. Vlastnosti Riemannova a Ricciho tenzoru. 7. Riemannova metrika, délka křivky. 8. Geodetické křivky na Riemannově varietě. 9. Prostory s konstantní křivostí, Einsteinovy prostory. 10. Izometrická a konformní zobrazení.
|
|
Studijní aktivity a metody výuky
|
|
Monologická (výklad, přednáška, instruktáž), Dialogická (diskuze, rozhovor, brainstorming), Demonstrace
|
|
Výstupy z učení
|
Cílem předmětu je seznámit studenty se základy Riemannovská geometrie a teorií diferencovatelných variet. Důraz je kladen na geometrickou interpretaci tenzorových veličin a na vztah mezi lokální a globální strukturou prostoru. Studenti: - porozumí pojmu diferencovatelné variety a geometrických objektů na ní, - osvojí si práci s tenzory a afinní konexí, - pochopí kovariantní derivaci, paralelní přenos a geodetiky, - seznámí se s křivostními tenzory (Riemannův, Ricciho), - pochopí význam Riemannovy metriky a variačních principů, - porozumí prostorům s konstantní křivostí a Einsteinovým prostorům, - osvojí si základní vlastnosti izometrických a konformních zobrazení.
Student po absolvování předmětu: Znalosti: - rozumí struktuře diferencovatelných variet a geometrických objektů na nich, - zná teorii tenzorů a afinní konexe, - chápe význam Riemannova a Ricciho tenzoru a jejich vlastnosti, - rozumí pojmu křivosti a prostorům s konstantní křivostí. Dovednosti: - umí počítat s tenzory a používat kovariantní derivaci, - dokáže pracovat s geodetikami a paralelním přenosem, - analyzuje křivost prostoru pomocí Riemannova tenzoru, - aplikuje variační principy na geometrické úlohy, - pracuje s izometrickými a konformními zobrazeními.
|
|
Předpoklady
|
Předpokládá se znalost základů Lineární algebra, Matematická analýza (zejména funkcí více proměnných) a Analytická geometrie. Výhodou je základní orientace v teorii tenzorů.
KAG/ZG2
|
|
Hodnoticí metody a kritéria
|
Ústní zkouška, Písemná zkouška, Analýza výkonů studenta
Pro úspěšné absolvování předmětu musí student: - prokázat porozumění základním pojmům Diferenciální geometrie (variety, tenzory, afinní konexe, křivost), - aktivně pracovat s matematickým aparátem (tenzorový počet, kovariantní derivace), - být schopen samostatně řešit výpočtové i teoretické úlohy (např. výpočet Christoffelových symbolů, geodetik, křivostních tenzorů), - aplikovat získané poznatky na konkrétní geometrické situace, - úspěšně složit zápočtový test (pokud je vyžadován), - úspěšně složit závěrečnou zkoušku (písemnou a/nebo ústní).
|
|
Doporučená literatura
|
-
Doupovec, M. (1999). Diferenciální geometrie a tenzorový počet. Brno.
-
Gray, A. (2006). Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces.. Chapman \& Hall/CRC, Boca Raton, FL.
-
Kolář I. (2002). Úvod do globální analýzy. Brno.
-
Kreyszig E. (2013). Differential geometry.. Dover publ.
-
Metelka, J. (1969). Diferenciální geometrie. Praha.
-
Podolský J. (2006). Teoretická mechanika v jazyce diferenciální geometrie. Praha.
-
Struik J. D. (1961). Lectures on classical differential geometry. Courier corp.
-
Vanžurová, A. (1996). Diferenciální geometrie křivek a ploch. Olomouc.
|